PETA KARNAUGH
Menurut
Wikipedia, Peta Karnaugh atay K-Map adalah suatu Teknik penyederhanaan ekspresi
aljabar Boolean dengan cara pemetaan. Peta Karnaugh ditemukan oleh seorang ahli
fisika dan matematika bernama Maurice Karnaugh pada tahun 1953.
Peta Karnaugh di-"ilustrasikan" seperti matrik 2 dimensi
(terdiri atas baris dan kolom) dimana komponen baris dan kolom adalah masukan
(input) dari sistem. Input dari masukan inilah yang kemudian disebut variabel
K-Map nya. Sehingga ada sebutan K-Map 2 Peubah, K-Map 3 Peubah, 4 Peubah dst.
K-Map efektif digunakan hanya sampai 6 peubah saja.
Untuk peubah lebih dari 6, tidak lagi di-rekomendasikan menggunakan K-Map
karena komputasinya sangat tinggi sehingga disarankan menggunakan program
komputer khusus.
Peta Karnaugh adalah sebuah metode untuk:
1. Menyederhanakan sebuah fungsi persamaan logika. Menyederhanakan
fungsi persamaan logika sebenarnya bisa dilakukan dengan menggunakan
aturan-aturan baku seperti:
- Distributif. Misalnya (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ≡ p ∧ (q ∨ r) atau (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) ≡ p ∨ (q ∧ r).
- De Morgan seperti ~p ∨ ~q ≡ ~(p ∧ q) atau ~p ∧ ~q
- Hukum penyerapan seperti p ∧ (p ∨ q) ≡ p atau p ∨ (p ∧ q) ≡ p
2. Mencari fungsi persamaan logika dari sebuah tabel kebenaran.
Terkadang, kita memiliki sebuah tabel kebenaran (yang diperoleh dari
pengumpulan kasus atau kejadian) tetapi belum memiliki persamaan logikanya
sehingga sulit membuat untai rangkaian logikanya.
K-Map 2 Peubah
Misalkan, ada 2 (dua) variable A dan B, dari kedua
variable ini kemungkinan yang terjadi adalah 4 buah kemungkinan. Dalam K-Map
penyelesaiannya adalah dengan menggunakan 4 kotak dan setiap kotak merupakan
jalinan antara variable atau antara negasi dari variable. (lihat table berikut).
Baris adalah masukan A dan Kolom adalah masukan B. Tidak ada yang spesial dari aturan K-Map 2 Variabel. Dalam K-Map bisa menulis 0 kemudian 1 atau 1 kemudian 0. Beriku adalah tabel kebenaran dari fungsi yang akan dibuat. Asumsikan, kita tidak memiliki fungsi persamaan dari tabel kebenaran berikut dan kita akan membuatnya.
Setiap cell dari matrik (bagian tengah) akan kita isi dengan hasil atau result dari tabel kebenaran. Sebagai contoh:
K-Map 3 Peubah
K-Map 3 peubah menggunakan 2 peubah di satu rusuk dan 1 peubah di rusuk yang lain. Anda bisa membuat K-Map dengan 2 peubah di rusuk tegak, dan 1 peubah di rusuk mendatar atau sebaliknya. Perhatikan gambar berikut.
Yang perlu diperhatikan adalah
penyusunan kombinasi masukan 2 peubah harus mengikuti kaidah "perubahan
di satu tempat". Artinya transisi dari "0" ke "1"
hanya di satu tempat saja. Sebagai contoh, kombinasi masukan dari
"01" menjadi "11". Transisi yang terjadi pada kombinasi ini
hanya pada masukan A (dari 0 menjadi 1) sedangkan masukan B tetap (1 tetap 1).
Jadi anda tidak boleh menulis "01" kemudian "10" (seperti
yang biasa anda lakukan di tabel kebenaran). Mengapa? karena jika susunan-nya
"01" kemudian "10", berarti perubahan terjadi di 2 masukan,
A berubah dari "0" menjadi "1" dan masukan B berubah dari
"1" menjadi "0".
Seperti pada K-Map 2 peubah, isi Cell
dari K-Map 3 peubah juga berisi result (hasil) dari tabel kebenaran. Sebagai
contoh :
K-Map 4 Peubah
Untuk K-Map 4 peubah, anda dapat
memasukkan 2 peubah di rusuk tegak dan 2 peubah di rusuk mendatar. Perhatikan
gambar berikut ini :
DAERAH MAXTERM DAN
MINTERM
Daerah Minterm adalah
suatu perkalian 2 variable atau lebih yang berorientasi pada nilai
1, sesuai namanya disimbolkan dengan huruf m kecil. Sedangkan Maxterm adalah
suatu penjumlahan 2 variable atau lebih yang berorientasi pada nilai
0, sesuai namanya disimbolkan dengan huruf M besar. Fungsi Boolean
yang berhubungan dengan Minterm dan Maxterm terdiri
dari 2 bentuk yaitu :
- SOP (Sum of Product) adalah
penjumlahan dari perkalian, dalam bentuk Minterm Σmi. , Setiap peubah yang bernilai 0 dinyatakan dalam
bentuk komplemen, sedangkan peubah yang bernilai 1 dinyatakan tanpa komplemen.
Artinya, kombinasi nilai-nilai peubah yang menghasilkan nilai fungsi sama
dengan 1 adalah 001, 100, dan 111, sehingga fungsi Booleannya dalam bentuk
kanonik SOP adalah sebagai berikut.
f(x, y, z) = x’y’z + xy’z’ + xyz
atau (dengan menggunakan lambang minterm),
f(x, y, z) = m1 + m4 + m7 = Σ (1, 4, 7)
- POS (Product of Sum) adalah perkalian dari penjumlahan, dalam
bentuk Maxterm Πmi. setiap peubah yang
bernilai 0 dinyatakan tanpa komplemen, sedangkan peubah yang bernilai 1
dinyatakan dalam bentuk komplemen. Artinya, kombinasi nilai-nilai peubah yang
menghasilkan nilai fungsi sama dengan 0 adalah 000, 010, 011, 101, dan 110,
maka fungsi Booleannya dalam bentuk kanonik POS adalah sebagai berikut.
f(x, y, z) = (x + y + z)(x + y’+ z)(x + y’+ z’)(x’+ y + z’)(x’+ y’+ z)
atau dalam bentuk lain,
f(x, y, z) = M0 M2 M3 M5 M6 = Π(0, 2, 3, 5, 6)
Cara membentuk minterm dan maxterm dari tabel kebenaran untuk dua peubah :
Cara membentuk minterm dan maxterm dari tabel kebenaran untuk tiga peubah:
(a) SOP
x
= x(y + y’)
= xy + xy’
= xy (z + z’)
+ xy’(z + z’)
= xyz + xyz’
+ xy’z + xy’z’
y’z
= y’z (x + x’)
= xy’z +
x’y’z
Jadi f(x, y, z)
= x + y’z
= xyz + xyz’ + xy’z + xy’z’
+ xy’z + x’y’z
= x’y’z + xy’z’ + xy’z + xyz’
+ xyz
atau f(x, y, z)
= m1 + m4 + m5 + m6 + m7 = S (1,4,5,6,7)
(b) POS
f(x, y, z)
= x + y’z
= (x + y’)(x + z)
x + y’
= x + y’ + zz’
= (x + y’ + z)(x + y’
+ z’)
x + z
= x + z + yy’
= (x + y + z)(x + y’
+ z)
Jadi, f(x, y, z) = (x + y’
+ z)(x + y’ + z’)(x + y + z)(x + y’
+ z)
= (x + y
+ z)(x + y’ + z)(x + y’
+ z’)
atau f(x, y, z) = M0M2M3
= Õ(0, 2, 3)
REFERENSI
LuckyTrue Learning: Media Pembelajaran Gratis
(luckytruedev.com)
ABAH TEKNO: MAXTERM DAN MINTERM
(elysiandigerati.blogspot.com)
PowerPoint Presentation (itb.ac.id)
Komentar
Posting Komentar